ホーム画面のアプリアイコンの数字（３１日）は変えられないか？

申し訳ございません。

こちらはあくまでカレンダーをイメージしたアイコンであり、日付に応じて数字を変えることはできないようになっています。

iPhone標準の公式カレンダーアプリだけは日付を自動で変えることができるようになっています。

今後、こちらのアプリでもそのような機能が実現できるようになったら、すぐに導入いたします。
ご期待に添えず、申し訳ございません。